Differentiable Manifolds
1.
Consider
a
2-sphere
of
unit
r
adius
S
2
centred
at
the
or
igin
of
R
3
and
let
x
=
r
cos
cos
;
y
=
cos
sin
;
z
=
r
sin
be
spher
ical
coordinates
on
R
3
.
The
flat
metr
ic
on
R
3
induces
the
f
ollo
wing
metr
ic
on
S
2
ds
2
=
d
2
+
cos
2
d
2
=
g
ij
dx
i
dx
j
;
0
<
2
;
Contents
1 Manifolds and tensors 4
1.1 Topological denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.2 Manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.3 Partitions of unity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.4 Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.5 Covectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.6 Tensors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.7 Contraction of tensors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.8 Non-coordinate bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.9 Abstract index notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.10 Tensor elds, and the commutator of vector elds . . . . . . . . .
11
1.11 The metric tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
1.12
Exercises
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
2 Maps of manifolds, integral curves and the Lie derivative 16
2.1 Motivation: derivatives of vector elds . . . . . . . . . . . . . . .
16
2.2 Maps of manifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
2.3 Integral curves and 1-parameter families of maps . . . . . . . . .
18
2.4 Lie derivative of a function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
2.5 Lie derivative of a vector eld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
2.6 Lie derivative of a covector eld . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
2.7 Lie derivative of a tensor eld of arbitrary rank . . . . . . . . . .
20
2.8 Coordinates adapted to a vector eld . . . . . . . . . . . . . . . .
20
2.9 Submanifolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
2.10 Application: axisymmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
2.11
Exercises
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
3 Linear connections and curvature 25
3.1 Linear connections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
3.2 Parallel transport and geodesics . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
3.3 The exponential map . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
3.4 Torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
3.5 Curvature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
3.6 Flat connections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
3.7 Geodesic deviation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
3.8 The metric-covariant derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
3.9 Outlook: connections on bre bundles . . . . . . . . . . . . . . .
33
3.10
Exercises
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
4 Dierential forms 37
4.1 Exterior algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
4.2 The exterior derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
4.3 The pull-back of dierential forms . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
4.4 Interior product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
4.5 Lie derivative of dierential forms . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
4.6 The Cartan structural equations . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
4.7
Exercises
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
2
5 Integration of dierential forms 48
5.1 The alternating symbol and the determinant . . . . . . . . . . .
48
5.2 The denition of the integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
5.3 Stokes’ Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
5.4 The volume form on a Riemannian manifold . . . . . . . . . . . .
52
5.5 The
-operator and the Hodge dual of a
p
-form . . . . . . . . . .
53
6 de Rham cohomology 55
6.1 Closed and exact forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
6.2 Integrals, the boundary operator
@
and homology . . . . . . . . .
58
6.3 Homology and de Rham’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
7 Symplectic Geometry 62
7.1 Symplectic forms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
7.2 Hamiltonian Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
7.3
Exercises
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
3
